Ejercicios de la Unidad

I. Plano Cartesiano

 Dibuja una representación del plano cartesiano y, luego ubica los siguientes puntos:

1. A(1,4); B(3,6); C(0,8); D(5,2); E(6,1).
2. F(-2,1); G(-1,-1/2); H(-4,4); I(4/5,6).
3. J(2,6); K(5,8); L(4.1); M(-6,6/3).
4. N(4,3); O(6,4); P(4,6); Q(1,1).
5. R(5,3); S(3,5); T(4,2); U(0,0).

 II. Vectores en el Plano Cartesiano

Dibuja los siguientes vectores:

1. v-> = (0,2)
2. w-> = (-3,2)
3. x-> = (2,1)
4. y-> = (1,-3)
5. z-> = (3,5)

III. Traslaciones en el Plano Cartesiano

• El punto A(3,-4) se traslada según el vector u-> = (5,0). ¿Cuáles son las coordenadas del punto?
• El cuadrado de vértices A(-1,-1), B(1,-1), C(1,1) y D(-1,1) es trasladado según el vector u-> = (-21,3). Determina las coordenadas de la imagen del cuadrado por dicha traslación.
• El punto B(5,-2) se traslada según el vector v-> = (3,0). ¿Cuáles son las coordenadas del punto?
• El punto C(2,-5) se traslada según el vector w-> = (1,5). ¿Cuáles son las coordenadas del punto?
• El punto D(6,-1) se traslada según el vector x-> = (4,2). ¿Cuáles son las coordenadas del punto?

 IV. Simetría axial y central

Determina la simetría de cada punto respecto al eje indicado:

1. P(1,2) respecto al eje X.
2. Q(5,2) respecto al eje Y.
3. R(-1,0) respecto al eje X.
4. S(4,3) respecto al eje Y.
5. T(10,5) respecto al eje X.

Rotación en el Plano Cartesiano

Hemos visto diseños que se generan por traslación o por reflexión. Sin Embargo existen otros para los cuales estos movimientos no bastan. Por ejemplo observemos el siguiente diseño:

Como vemos, la figura del personaje se rota en un angulo marcado por las lineas azules.

En general, si consideramos un punto O y un angulo a, la rotación de ángulo a y centro O, a cada punto P le asocia el punto P´.

Si queremos rotar P, en torno a O con un angulo A, (nosotros lo haremos con un ángulo de 40° según el sentido de las manecillas del reloj) marcamos la recta OP con la regla. Luego pondremos la marca de inicio del transportador  en el punto O y marcando 0° en la recta OP.

 

Enseguida marcaremos el ángulo A y con la regla trazaremos la recta L que pasa por O y por la marca que acabamos de hacer. 

Luego con el compás haremps la circunferencia con centro O y radio OP. Entonces la rotación del punto P será la intersección de la circunferencia y la recta L.  

Con las figuras geométricas se utiliza el mismo principio con sus aristas. 

Simetría Central

Es una transformación, en donde a cada punto se le asigna otro punto llamado imagen, el punto y su imagen están a la misma distancia de un punto llamado centro; el punto, su imagen y el centro pertenecen a una misma recta.

Según estas definiciones se obtienen figuras con una rotación de 90, 180, 270, 360 grados:

• Las figuras rotadas en 90º quedan x positivo e y negativo.
• Las figuras rotadas en 180º quedan x e y negativo.
• Las figuras rotadas en 270º quedan x positivo e y negativo.
• Las figuras rotadas en 360º quedan x e y positivo.

Simetría Axial

La simetría corresponde a la posición regular de las partes o puntos de un cuerpo con relación a un punto (0), o una recta (x o y).

La simetría axial es una tranformación respecto a un eje (x o y), donde a cada punto de una figura se le asigna otro punto llamdo imagen, la distancia de un punto y su imagen al eje (x o y) es igual,  el segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje.

Traslaciones en el Plano Cartesiano

Las traslaciones las anotaremos T(a,b); donde el par ordenado (a,b); denota los componentes del vector de traslado, lo que se entiende por trasladar a unidades horizontalmente y b unidades verticalmente.

Dependiendo si los valores son positivos o negativos, la figura se trasladar hacia derecha o izquierda, o arriba o abajo respectivamente. 

Considerando un trazo cualquiera AT, al aplicarle traslación, el trazo resulta A´T´, imagen del trazo original.

También pueden aplicarse traslaciones una después de otra, teniendo como resultado la imagen de la imagen del trazo original, pudiendo aplicar dichas traslaciones en cualquier orden.

Vale destacar que para las traslaciones se usan vectores.

Vectores en el Plano Cartesiano

Características generales:

Los vectores se representan gráficamente mediante un segmento orientado (o vulgarmente: una línea direccionada en el Plano Cartesiano).

El módulo de un vector es su medida, que es la raíz cuadrada de las coordenadas del vector, elevadas al cuadrado y sumadas. Ej.:  

 Los vectores tienen igual dirección cuando están incluidos en la misma recta o son paralelos entre sí.

El sentido de los vectores se identifica con la punta de su flecha.

Los vectores son equipolentes entre si cuando tienen el mismo sentido, módulo y dirección.

Suma de vectores:

Algebraicamente, esto se obtiene sumando los pares ordenados componente a componente (sumando los valores de x e y de los dos vectores)

Resta de vectores:

Se obtiene cuando al primero de ellos le sumamos el vector opuesto al segundo vector.

Plano Cartesiano

El plano cartesiano, está compuesto por dos líneas perpendiculares entre sí. La línea horizontal, es llamada eje x, y la vertical eje y. El punto donde se encuentran los dos ejes es llamado origen.  

El plano cartesiano es usado para describir puntos asociados a los ejes x,y quienes definen las coordenadas, y de acuerdo a esto, saber la ubicación del punto en cuestión.

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro cuadrantes:

• El 1º cuadrante tiene sus ejes, x e y positivos.
• El 2º cuadrante tiene sus ejes, x negativo, e y positivo.
• El 3º cuadrante tiene sus ejes, x e y negativos.
• El 4º cuadrante tiene sus ejes, x positivo, e y negativo.

Para poder localizar los puntos en el plano se deben seguir los siguientes pasos:

1. Escribir la ubicación de dicho punto según x.
2. Proceder a escribir una coma para separar los valores de los ejes.
3. Escribir la ubicación de dicho punto según y.

Ejemplo:

Vale recalcar que siempre el conteo de valores comezará desde el origen.